phương trình đường tròn

•
Bài tốn
Bài tốn


: Cho I(a;b), R > 0, M(x;y). Tìm hệ thức
: Cho I(a;b), R > 0, M(x;y). Tìm hệ thức
liên hệ giữa x ,y, a, b biết IM =R.
liên hệ giữa x ,y, a, b biết IM =R.
•
Giải:
Giải:


Ta có: IM = R
⇔
⇔


IM
IM
2
2
= R
= R
2
2






⇔
⇔


(x-a)
(x-a)
2
2
+(y-b)
+(y-b)
2
2
= R
= R
2
2


(1)
(1)


Như vậy
Như vậy


:
:
Hệ thức
Hệ thức
(1)
(1)
là phương trình đường tròn
là phương trình đường tròn
tâm I(a;b), bán kính R
tâm I(a;b), bán kính R
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
DẠNG 1( thu gọn)
DẠNG 1( thu gọn)1. (x-a)
2
+(y-b)
2
=R
2
(1)
R
x
O
I
b
a
M
y

Phương trình đường tròn
Phương trình đường tròn
tâm O
tâm O
;
;
bán kính R
bán kính R
:
:
(C)
(C)
x
x
2
2
+ y
+ y
2
2
= R
= R
2
2
O
x
y
*
NHẬN XÉT 1
NHẬN XÉT 1

NHẬN XÉT 2:
NHẬN XÉT 2:


Đ
Đ
ường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R
ường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R


i) Tiếp xúc trục hồnh
i) Tiếp xúc trục hồnh
⇒
⇒
R =
R =
| b |
| b |
ii) Tiếp xúc trục tung
ii) Tiếp xúc trục tung
⇒
⇒
R =
R =
| a |
| a |
iii) Tiếp xúc với hai trục toạ độ
iii) Tiếp xúc với hai trục toạ độ
⇒
⇒
R =
R =
| a |=
| a |=


| b |
| b |
R
y
x
O
I
b
a
R
y
x
O
I
b
a
R
y
x
O
I
b
a

Ví dụ 1:
Ví dụ 1:
1
1
/ (C) có tâm P(2;-3) và qua điểm Q(-2;3)
/ (C) có tâm P(2;-3) và qua điểm Q(-2;3)
2
2
/ (C) có đường kính PQ với P(-2;3); Q(2;-3)
/ (C) có đường kính PQ với P(-2;3); Q(2;-3)
3
3
/ (C) có tâm I(-1;2) và tiếp xúc với đường thẳng
/ (C) có tâm I(-1;2) và tiếp xúc với đường thẳng
(
(
∆
∆
) : 2x – y + 3 = 0
) : 2x – y + 3 = 0
Viết phương trình đường tròn (C)
Viết phương trình đường tròn (C)
trong các trường hợp sau:
trong các trường hợp sau:

•
Khai triển hệ thức
Khai triển hệ thức
(1)
(1)
ta được:
ta được:
•

x
2
+y
2
-2ax-2by+a
2
+b
2
= R
2
⇔ x
2
+y
2
-2ax-2by+a
2
+b
2
-R
2
= 0
Đặt c = a
2
+b
2
-R
2
Do đó mỗi phương trình dạng:
x
2
+y
2
-2ax-2by+c = 0 (2) với a
2
+b
2
-c >0
là phương trình đường tròn tâm I(a;b)
bán kính


DẠNG 2
DẠNG 2
(khai triển):
(khai triển):
x
x
2
2
+y
+y
2
2
-2ax-2by+c = 0
-2ax-2by+c = 0
2.
⇔ R
2
= a
2
+b
2
-c
II. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN
(x-a)
2
+(y-b)
2
=R
2
(1)
R
R
2
2
0
0


{
2 2
R= a + b - c
> 0

VÍ DỤ 2:
VÍ DỤ 2:
Trong các phương trình sau, phương trình nào
là phương trình đường tròn ? Tìm tọa độ tâm
và bán kính của mỗi đường tròn ấy.
1
1
/ (x-2)
/ (x-2)
2
2
+(y+3)
+(y+3)
2
2
=11
=11
2
2
/ x
/ x
2
2
+y
+y
2
2
-2x+4y+6 = 0
-2x+4y+6 = 0
3
3
/ 2x
/ 2x
2
2
+2y
+2y
2
2
+4x-8y+3 = 0
+4x-8y+3 = 0
VD3

( x – 2 )
( x – 2 )
2
2
+ ( y + 3 )
+ ( y + 3 )
2
2
= 11 (
= 11 (
1
1
)
)
GIẢI:
GIẢI:
Ta có: a=2; b=-3; R
Ta có: a=2; b=-3; R
2
2
=11
=11
Vậy (1) là phương trình đường tròn
Vậy (1) là phương trình đường tròn
* tâm I(2;-3)
* tâm I(2;-3)
* bán kính R =
* bán kính R =
11
( x – a )
2
+ ( y – b )
2
= R
2














(-3)-
b














Ta có :
Ta có :

a = 1 ; b = - 2 ; c = 6


2 2
a b c 1 0
+ − = − <
GIẢI:
GIẢI:
Vậy (2) khơng phải là phương trình đường tròn
x
x
2
2
+ y
+ y
2
2
- 2ax - 2by + c = 0
- 2ax - 2by + c = 0
x
x
2
2
+ y
+ y
2
2
- 2x + 4y + 6 = 0 (
- 2x + 4y + 6 = 0 (
2
2
)
)
2 2a
4 2b
6 c
ì
- = -
ï
ï
ï
ï
= -
í
ï
ï
=
ï
ï
ỵ

2x
2x
2
2
+ 2y
+ 2y
2
2
+ 4x - 8y + 3 = 0 (
+ 4x - 8y + 3 = 0 (
3
3
)
)
Chia hai v pt (3) cho 2, ta đ c : ế ượ
2 2
3
x y 2x 4y 0
2
+ + − + =
GIẢI:
GIẢI:
Vậy (3) là phương trình đường tròn tâm I(-1;2)
bán kính
7
2
R =
3
a 1;b 2;c
2
= - = =
2 2
7
a b c
2
+ - =


VÍ DỤ 3:
VÍ DỤ 3:
Viết phương trình đường tròn (C) qua 3 điểm
A(3;3) ; B(1;1) ; C(5;1)
A(3;3) ; B(1;1) ; C(5;1)
C2
C1

Xem chi tiết: phương trình đường tròn