Chuyên đề Tích Phân chi tiết, đầy đủ các dạng.

LINK DOWNLOAD MIỄN PHÍ TÀI LIỆU "Chuyên đề Tích Phân chi tiết, đầy đủ các dạng.": http://123doc.vn/document/1054430-chuyen-de-tich-phan-chi-tiet-day-du-cac-dang.htm

GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ
Bài tập tương tự
Dạng 2: Tính nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm
Ví dụ 1. Tính nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm có sẵn
•
8 9
1
9
I x dx x C= = +
∫
•
5 5 1 4
5
1 1
5 1 4
dx
I = x dx x C x C
x
− − + −
= = + = − +
− +
∫ ∫
•
( ) ( )
2
2 4 3 2 5 4 3
1 4
2 4 4
5 3
I x x dx x x x dx x x x C= + = + + = + + +
∫ ∫
•
1 1
ln
2 2 2
dx dx
I x C
x x
= = = +
∫ ∫
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình
5
GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ
•
( )
2 2 2
1
2
2
x x x
I e dx e d x e C= = = +
∫ ∫
•
( )
4 4 4
1 1
4
4 4
x x x C
I e dx e d x e
+
= = =
∫ ∫
•
( )
1 1
cos2 cos2 2 sin 2
2 2
I xdx xd x x C= = = +
∫ ∫
•
( )
1 1
sin 2 sin 2 2 cos2
2 2
I xdx xd x x C= = = − +
∫ ∫
•
( )
2 2 2
2
1 1
.
2 2
x x x
I x e dx e d x e C= = = +
∫ ∫
•
( )
cos
sin
tan ln cos
cos cos
d x
x
I xdx dx x C
x x
= = = − = − +
∫ ∫ ∫
•
( )
sin
cos
cot ln sin
sin sin
d x
x
I x dx x C
x x
= = = = +
∫ ∫ ∫
•
( )
cos2
sin 2 1 1
tan 2 ln cos2
cos2 2 cos2 2
d x
x
I xdx dx x C
x x
= = = − = − +
∫ ∫ ∫
•
( )
sin 2
cos2 1 1
cot 2 ln sin 2
sin 2 2 sin2 2
d x
x
I xdx dx x C
x x
= = = = +
∫ ∫ ∫
•
( )
2 2 3
1
sin .cos sin sin sin
3
I x xdx xd x x C= = = +
∫ ∫
•
( )
2 2 3
1
cos .sin cos cos cos
3
I x xdx xd x x C= = − = − +
∫ ∫
•
( )
4 4 5
1
sin .cos cos cos cos
5
I x xdx xd x x C= = − = − +
∫ ∫
•
( )
4 4 5
1
cos .sin sin sin sin
5
I x xdx xd x x C= = = +
∫ ∫
•
( ) ( )
( )
2 2
1 3sin cos 1 3sin sinI x xdx x d x= − = −
∫ ∫
( )
2 3
sin 3sin sin sind x xdx x x C
= − = − +
∫ ∫
•
( )
3 2 2
cos cos .cos 1 sin .cosI xdx x xdx x xdx= = = −
∫ ∫ ∫
( )
( )
2 3
1
1 sin sin sin sin
3
x d x x x C= − = − +
∫
•
( )
( )
3 2 2 3
1
sin sin .sin 1 cos cos cos cos
3
I xdx x xdx x d x x x C= = = − − = − +
∫ ∫ ∫
•
2
1 cos2 1 1 1 1
sin cos2 sin 2
2 2 2 2 4
x
I xdx dx dx xdx x x C
−
= = = − = − +
∫ ∫ ∫ ∫
•
2
1 cos2 1 1 1 1
cos cos2 sin 2
2 2 2 2 4
x
I xdx dx dx xdx x x C
+
= = = + = + +
∫ ∫ ∫ ∫
•
2
1 cos4 1 1 1
sin 2 cos4 sin4
2 2 2 2 8
x x
I xdx dx dx xdx x C
−
= = = − = − +
∫ ∫ ∫ ∫
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình
6
GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ
•
2
1 cos4 1 1 1
cos 2 cos4 sin 4
2 2 2 2 8
x x
I xdx dx dx xdx x C
+
= = = + = + +
∫ ∫ ∫ ∫
•
2 2
2
2 2 2
sin 1 cos
tan tan
cos cos cos
x x dx
I xdx dx dx dx x x C
x x x
−
= = = = − = − +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
•
2 2
2
2 2 2
cos 1 sin
cot cot
sin sin sin
x x dx
I xdx dx dx dx x x C
x x x
−
= = = = − = − − +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Ví dụ 2. Tìm các nguyên hàm:
•
( )
( )
( )
( )
1
2 2
2
2 1
1 1
. 2 1
4 4 1 2 2
2 1 2 1
d x
dx dx
I x C
x x
x x
−
−
= = = = − − +
− +
− −
∫ ∫ ∫
•
( )
sin cos
sin cos
ln sin cos
sin cos sin cos
d x x
x x
I dx x x C
x x x x
−
+
= = = − +
− −
∫ ∫
•
( )
1
ln 1
1 1
x
x
x
x x
d e
e dx
I e C
e e
+
= = = + +
+ +
∫ ∫
•
( )
ln
x x
x x
x x
x x x x
d e e
e e
I dx e e C
e e e e
−
−
−
− −
+
−
= = = + +
+ +
∫ ∫
•
( )
( )
2 2
2
ln 2
2 2
4 4
2
x
x x x
x
x x
x x
x
d e
e dx e dx e dx
I e C
e e
e e
e
+
= = = = = + +
+ +
+ +
+
∫ ∫ ∫ ∫
•
( )
( )
cos2 cos cos3
cos cos2 cos3
sin sin 2 sin3 sin 2 sin sin3
x x x
x x x
I dx dx
x x x x x x
+ +
+ +
= =
+ + + +
∫ ∫
cos2 2cos2 cos
sin 2 2sin 2 cos
x x x
dx
x x x
+
=
+
∫
( )
( )
cos2 1 2cos
sin 2 1 2cos
x x
dx
x x
+
=
+
∫
( )
sin 2
cos2 1 1
ln sin 2
sin 2 2 sin2 2
d x
x
dx x C
x x
= = = +
∫ ∫
Ví dụ 3.
Ví dụ 4 . Tìm các nguyên hàm:
Trong Ví dụ này cần chú ý:
( )
( )
2
2
tan 1 tan
cos
dx
d x x dx
x
= = +
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình
7
GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ
•
( ) ( )
3 3 2
1
tan tan tan tan tan tan 1 tanB xdx x x x dx x x x dx
 
= = + − = + −
 
∫ ∫ ∫
( )
( )
2
sin
tan tan 1 tan tan tan
cos
x
x x dx xdx xd x dx
x
= + − = −
∫ ∫ ∫ ∫
2
1
tan ln cos
2
x x C= + +
•
( ) ( )
4 4 2 2 2 2 2
2
tan tan tan tan tan tan 1 tanB xdx x x x dx x x dx xdx= = + − = + −
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )
2 3
1
tan tan tan tan tan
3
xd x x x C x x x C= − − + = − + +
∫
•
( )
5 5 3 3
3
tan tan tan tan tan tanB xdx x x x x x dx
= = + − − +
∫ ∫
( ) ( )
3 2 2
tan tan 1 tan tan 1 tanx x dx x x dx xdx= + − + +
∫ ∫ ∫
( ) ( )
3 4 2
1 1
tan tan tan tan tan tan tan ln cos
4 2
xd x xd x xdx x x x C= − + = − − +
∫ ∫ ∫
•
( )
6 6 4 4 2 2
4
tan tan tan tan tan tanB xdx x x x x x dx
= = + − − +
∫ ∫
( ) ( )
4 2 2 2 2
tan tan 1 tan tan 1 tanx x dx x x dx xdx= + − + +
∫ ∫ ∫
( ) ( )
4 2 2
tan tan tan tan tanxd x xd x xdx
= − +
∫ ∫ ∫
5 3
1 1
tan tan tan
5 3
x x x x C= − + − +
•
( )
7 7 5 5 3 3
5
tan tan tan tan tan tan tan tanB xdx x x x x x x x dx= = + − − + + −
∫ ∫
( ) ( ) ( )
5 2 3 2 2
tan tan 1 tan tan 1 tan tan 1 tanx dx x dx x dx xdx
= + − + + + −
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
5 3
tan tan tan tan tan tan tanxd x xd x xd x xdx= − + −
∫ ∫ ∫ ∫
6 4 2
1 1 1
tan tan tan ln cos
6 4 2
x x x x C= − + + +
Bài tập tương tự
1. f(x) = x
2
– 3x +
x
1
ĐS. F(x) =
Cx
xx
++− ln
2
3
3
23

2. f(x) =
2
4
32
x
x +
ĐS. F(x) =
C
x
x
+−
3
3
2
3

.3 f(x) =
2
1
x
x −
ĐS. F(x) = lnx +
x
1
+ C
4. f(x) =
2
22
)1(
x
x −
ĐS. F(x) =
C
x
x
x
++−
1
2
3
3
5. f(x) =
4
3
xxx ++
ĐS. F(x) =
C
xxx
+++
5
4
4
3
3
2
4
5
3
4
2
3
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình
8
GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ
6. f(x) =
3
21
xx
−
ĐS. F(x) =
Cxx +−
3
2
32

7. f(x) =
x
x
2
)1( −
ĐS. F(x) =
Cxxx ++− ln4
8. f(x) =
3
1
x
x −
ĐS. F(x) =
Cxx +−
3
2
3
5
9. f(x) =
2
sin2
2
x
ĐS. F(x) = x – sinx + C
10. f(x) = tan
2
x ĐS. F(x) = tanx – x + C
11. f(x) = cos
2
x ĐS. F(x) =
Cxx ++ 2sin
4
1
2
1

12. f(x) = (tanx – cotx)
2
ĐS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C
13. f(x) =
xx
22
cos.sin
1
ĐS. F(x) = tanx - cotx + C
14. f(x) =
xx
x
22
cos.sin
2cos
ĐS. F(x) = - cotx – tanx +
C
15. f(x) = sin3x ĐS. F(x) =
Cx +− 3cos
3
1

16. f(x) = 2sin3xcos2x ĐS. F(x) =
Cxx +−− cos5cos
5
1
17. f(x) = e
x
(e
x
– 1) ĐS. F(x) =
Cee
xx
+−
2
2
1

18. f(x) = e
x
(2 +
)
cos
2
x
e
x−
ĐS. F(x) = 2e
x
+ tanx + C
19. f(x) = 2a
x
+ 3
x
ĐS. F(x) =
C
a
a
xx
++
3ln
3
ln
2

20. f(x) = e
3x+1
ĐS. F(x) =
Ce
x
+
+13
3
1
Dạng 3: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến
pp
- Đặt giá trị thích hợp bằng U(x)=t
- Lấy vi phân 2 vế
-Tính nguyên hàm với ẩn t
-Trả lại ẩn cũ
1.
( )
ax b dx+
∫
Đặt
t ax b= +

2.
1
.
n n
x x dx
+
∫
Đặt
1n
t x
+
=
3.
( )
.
2
dx
f x
x
∫
Đặt
t x=
4.
( )
sin cosf x xdx
∫
Đặt
sint x=
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình
9
GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ
5.
( )
cos sinf x xdx
∫
Đặt
cost x=
6.
( )
2
tan
cos
dx
f x
x
∫
Đặt
tant x=
7.
( )
2
cot
sin
dx
f x
x
∫
Đặt
cott x=
8.
( )
.
x x
f e e dx
∫
Đặt
x
t e=
9.
( )
ln
dx
f x
x
∫
Đặt
lnt x=
10.
1 1
.f x x dx
x x
   
± ±
 ÷ ÷
   
∫
Đặt
1
t x
x
= ±

11.
( )
2
0
dx
I a
x a
= ≠
+
∫
Đặt
2
t x x a= + +
Ngoài ra có một số cách đặt ở nguyên hàm chứa căn
Một số cách đặt thường gặp :
(
)
dxxaxS
∫
−
22
,
đặt
.cos
0
sin
x a t
t
x a t
π
=

≤ ≤

=

(
)
dxxaxS
∫
+
22
,
đặt
22
tan.
ππ
<<−= ttax
(
)
dxaxxS
∫
−
22
,
đặt
cos
,
2
sin
a
x
t
t k t k
a
x
t
π
π π

=

≠ + ≠


=


(
)
dxcbxaxxS
∫
++
2
,
đặt
( )






>±±=++
=++−=++
>±=++
0;.
0;
0;
2
000
2
2
atxacbxax
cbxaxxxtcbxax
ccxtcbxax
∫








+
+
m
dcx
bax
xS ,
đặt
0; ≠−
+
+
= cbad
dcx
bax
t
m

Bài tập
Bài 1. Tính tích phân bất định sau :
( )
8
2 2
2 3I x x dx= −
∫
Giải
Đặt :
( ) ( )
8
2 2 2 8 8 9
2
6
2 1
2 3 2 3 2
2
3 3
3
dt xdx
t
t x x x t t t
t
x
= −

−

 
= − ⇒ ⇔ − = = −
−

 ÷
=
 


.
Vậy :
( )
( )
( ) ( )
8 9 10
2 2 8 9 9 10 2 2
1 2 1 2 1
2 3 2 2 3 2 3
3 27 30 27 30
I x x dx t dt t dt t t C x x C= − = − = − + = − − − +
∫ ∫ ∫
Bài 2 : Tính tích phân bất định :
3
1
x dx
x−
∫
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình
10
GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ
Giải
Đặt : t=
( )
( )
( )
3
2
2
2
2 4 6
1 2
1
1 2 1 2 3
2
1
t tdt
x t
x dx
x t t t dt
t
dx tdt
x
− −

= −
− ⇒ ⇔ = = − − + −

= −
−

.
Vậy :
( )
3
2 4 6 3 5 7
4 6 2
2 4 6 2 2
3 5 7
1
x dx
t t t dt t t t t C
x
= − + − + = − + − + +
−
∫ ∫
( ) ( ) ( )
2 3
4 6 2
2 1 1 1 1 1 1 1
3 5 7
x x x x x x x C= − − + − − − − − + − − +
Bài 3: Tính tích phân bất định :
( )
2
5 2
3
1 2x x dx−
∫
Giải
Đặt : t=
( ) ( )
3
2 3 2 2 2
3
1 3
1 2 1 2 2
2 2
t
x t x x xdx t dt
−
− ⇒ = − ↔ = → = −
Do đó :
( ) ( )
3
2
5 2 2 2 7 4
3
1 3 3
1 2 .
2 4 8
t
x x dx t t dt t t dt
−
 
− = − = −
 ÷
 
Vậy :
( ) ( ) ( )
2
5 2 7 4 8 5 6 3 2
3
3 3 1 1 3
1 2 5 8
8 8 8 5 320
x x dx t t dt t t t t t C
 
− = − = − = − +
 ÷
 
∫ ∫
=
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
3
3
5 1 2 8 1 2 1 2
320
x x x C
 
− − − − +
 
 
Bài 4: Tính tích phân bất định :
3
sin osxI x c dx=
∫
.
Giải
Đặt : t=
2
osx osx 2tdt=-sinxdxc t c↔ = ⇒
.
Do đó :
( ) ( ) ( )
3 2 4 6 2
sin osx 1 os osx sinxdx= t 1 2 2x c dx c x c t tdt t t dt= − − = −
.
Vậy :
( )
3 6 2 7 3 3
2 2 2 1
sin osx 2 os osx osx osx+C
7 3 7 2
I x c dx t t dt t t C c x c c c= = − = − + = −
∫ ∫
Bài 5: Tính tích phân bất định :
3
2
osx.sin
1 sin
c x
I dx
x
=
+
∫
Giải
Đặt :
2
2
sin 1
1 sin
2sin cos
x t
t x
x xdx dt

= −
= + ⇒

=

Suy ra :
( )
3 2
2 2
1
osx.sin 1 sin .2sin . osx.dx 1 1 1
1
1 sin 2 1 sin 2 2
t dt
c x x x c
dx dt
x x t t
−
 
= = = −
 ÷
+ +
 
.
Vậy :
( )
( )
3
2 2
2
osx.sin 1 1 1 1
1 ln 1 sin ln 1 sin
1 sin 2 2 2
c x
I dx dt t t C x x C
x t
 
 
= = − = − + = + − + +
 ÷
 
+
 
∫ ∫
Bài 6: Tính tích phân bất định :
2
8
os
sin
c x
I dx
x
=
∫
Giải
Vì :
( ) ( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
2
8 8 8
os os sin 1 sin 1 sin sin
os
sin sin sin
c x c x x x x x
c x
x x x
+ − + −
= = =
Đặt : t =
2
2 2
2
1
sin
cot
1
1 cot 1
sin
dt dx
x
x
x t
x

= −


⇒


= + = +


Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình
11
GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ
Suy ra :
( ) ( )
2
2 2
2 2 2 2 2
8 6 2
os 1 1
cot cot 1 cot . 1
sin sin sin
c x
dx x dx x x dx t t dt
x x x
   
= = + = − +
 ÷
 
   
Vậy :
( )
2
2 4 6 3 5 7
8
os 1 2 1
2
sin 3 5 7
c x
I dx t t t dt t t t C
x
 
= = − + + = − + + +
 ÷
 
∫ ∫
. Thay : t= cotx vào .
Bài 7 : Tính tích phân bất định :
( )
2
0
dx
I a
x a
= ≠
+
∫
Giải
Đặt :
( )
2
2
2 2 2 2
1
x x a dx
x tdx dt dx
t x x a dt dx
t
x a x a x a x a
+ +
= + + ↔ = + = = ⇒ =
+ + + +
Vậy :
2
2
ln ln
dx dt
I t C x x a C
t
x a
= = = + = + + +
+
∫ ∫
Bài 8:
Gải
Bài 9:
Giải
Đs:
Bài 10:
Tính tích phân
2004 2003
1.I x x dx= +
∫
Giải:
Đặt
2004 2003 2003
1
1 2004
2004
t x dt x dx x dx dt= + ⇒ = ⇒ =
.
Đs
( )
3
3 2004
1 1
1
3006 3006
t C x C= + = + +
Bài 11:
Tính tích phân
1 1
.
x x
e x e x
I e dx e e dx
+ + +
= =
∫ ∫
Gải:
Đặt
x x
e t e dx dt= ⇒ =
. Thay vào ta được:
( )
1 1 1 1
1
x
t t t e
L e dt e d t e C e C
+ + + +
= = + = + = +
∫ ∫
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình
12
GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ
Bài 12:
Tính tích phân
2
2 ln xx
I e dx
+
=
∫
Giải:
Ta có:
2 2
2 ln 2
. .
x x x
M e e dx e xdx= =
∫ ∫
Đặt
2
2 4
4
dt
x t xdx dt xdx= ⇒ = ⇒ =
Ta được
2
2
1 1
4 4 4
t t x
dt
M e e C e C= = + = +
∫
Bài 13:
Tính tích phân
10
1
x
I dx
x
=
+
∫
Giải:
Đặt
10 9
10
1 1 10x t x t dx t dt+ = ⇒ + = ⇒ =
.
Đs
( ) ( )
19 9
10 10
10 10
1 1
19 9
x x C= + + − + +
Bài 14:
Tính tích phân
( )
10
2
1I x x dx= −
∫
Giải:
Đặt
1 x t dx dt− = ⇒ = −
. Từ đó ta được:
Đs:
( ) ( ) ( )
11 12 13
11 12 13
1 1 1 1 1 1
1 1 1
11 6 13 11 6 13
t t t C x x x C= − + − + = − − + − − − +
Bài 15:
Gải
Đs
Bài 16. Tính tích phân bất định
a/
( )
3
2
1
dx
x−
∫
b/
2
2 3
dx
x x+ +
∫
Giải
a/ Đặt : x=sint ; t
; ostdt
2 2
dx c
π π
 
∈ − ⇒ =
 ÷
 
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình
13
GV: Nguyễn Đức Kiên Tích phân- ôn thi ĐHCĐ
Suy ra :
( ) ( )
( )
3 2
3 3
2 2
ostdt ostdt
tan
cos os
1 1-sin
dx c c dt
d t
t c t
x t
= = = =
−
.
Khi đó :
( )
( )
3 2 2
2
sin
tan tan
1 sin 1
1
dx t x
d t t C C
t x
x
= = + = = +
− −
−
∫ ∫
b/ Vì :
( )
( )
2
2
2
2 3 1 2x x x+ + = + +
, nên
Đặt :
2
1
1 2 tan ; ; 2. ;tan
2 2 os
2
dt x
x t t dx t
c t
π π
+
 
+ = ∈ − ⇒ = =
 ÷
 
Suy ra :
( )
( )
( )
2
2 2
2 2
2
1 ostdt
.
1-sin
2 ost 2
2 3
2 tan 1 . os
1 2
dx dx dt dt c
t
c
x x
t c t
x
= = = =
+ +
+
+ +
1 ostdt ostdt
.
sint-1 sint+1
2 2
c c
 
= − −
 ÷
 
.
Khi đó :
2
1 ostdt ostdt 1 sin 1
ln
sint-1 sint+1 sin 1
2 2 2 2
2 3
dx c c t
C
t
x x
−
 
= − − = − +
 ÷
+
 
+ +
∫ ∫
(*)
Từ :
( )
2
2
2 2
2 2
1
1 sin 2
tan tan sin 1
1 sin 2 2 3
2
x
x t
t t t
t x x
+
+
= ⇔ = = ⇒ = −
− + +
. Ta tìm được sint , thay vào
(*) ta tính được I .
Bài 17: Tính tích phân bất định :
2
2
1
x dx
I
x
=
−
∫
.
Giải
Đặt
2
1 2cos2
; 0;
sin 2 4 sin 2
tdt
x t dx
t t
π
 
= ∈ ⇒ = −
 ÷
 
.
Do đó :
( )
2 2
2
2 3 3 3
2
2
2
2 sin os
1 2cos 2 2
sin 2 sin 2 8sin cos
1
1
sin 2 . 1
sin 2
t c t dt
x dx tdt dt
t t t t
x
t
t
+
 
= − = − = −
 ÷
 
−
−
=
2 2 2
1 1 1 2 1
cot . tan . .
4 sin os tan os
t t dt
t c t t c t
 
− + +
 ÷
 
Vậy :
2 2
1 2 1 1 1
cot . (cot ) tan . (tan ) . (tan ) cot tan 2ln tan
4 tan 4 2 2
I I t d t t d t d t t t t C
t
   
= = − − + + = − − + + +
 ÷  ÷
   
∫
2 2
1 1
1 ln 1
2 2
x x x x C= − − − − +
* Chú ý : Tích phân dạng này ta có thể giải bằng cách khác nhanh hơn :
Ta có :
( )
2 2 2
2 2
2 2 2 2 2
1 1 1
1 1 1
1 1 1 1 1
x x x dx dx
x I x dx J K
x x x x x
− +
= = − + ⇒ = = − + = +
− − − − −
∫ ∫ ∫
Với : J
( )
2
2 2 2
2
1 1 1
1
x
x dx x x dx x x I a
x
= − = − − = − −
−
∫ ∫
Văn lang- Hưng Hà- Thái Bình
14